** Un pavage semi-régulier

Dans la figure suivante sont représentés deux octogones réguliers identiques ayant un côté en commun et un carré ayant un côté en commun avec chacun des deux octogones.
Le point noir qui est mis en évidence est un sommet commun aux trois polygones. Le côté du carré mesure \(1\) cm.

1. Démontrer qu’il n’y a ni chevauchements ni trous dans cette figure.
2. Peut-on utiliser cette figure comme une maille pour paver le plan ? Justifier. 
3. Calculer la mesure du contour de cette figure et son aire.
Coup de pouce : l'aire d'un octogone régulier de côté \(c\) est \(\mathcal {A} = 2c^2(1+ \sqrt{2})\).
4. Cette image peut représenter une illustration du calcul \(\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{8}+\dfrac{3}{8}=1\). Pourquoi ?